高等代数第11章双线性函数和辛空间

大学必修课高等数学课件讲解详细，内容详细全面。对于大学更好的学习数学很有帮助，对于考研复习数学也很有帮助。大学学习主要针对非数学专业；考研复习是针对数学专业的学生的。

§1线性函数的定义假设V是数域上的线性空间f是V并且是数域P上的线性空间。它是数域上的线性空间并且是到P的映射。如果α，βεV，kεP，f满足的映射，满足：若ε满足 (1) f (α +β ) = f (α)+f(β ); ; (2) f (kα) = kf(α)，则称f为线性函数。则称f(0)=0，f(-α)=-f(α)，若β=k1α1+k2α2+…+ksαs…则f(β)=k1f(α1)+k2f(α2)+… ,+ksf(αs)

第11章双线性函数和辛空间第§1章线性函数§2对偶空间§3双线性函数*§4辛空间§

示例 1 令 a1, a2,…,an 为 P 中的任意数，任意数 X=(x1,x2,…, xn) in… 是 Pn 中的向量函数… 是 Pn 中的向量。 f (X) =f(x1,x2,…,xn)= a1x1+a2x2+…+anxn……是 Pn 上线性函数的线性函数。

调零功能0：当a1=a2=…=an=0时，f(X)=0。 … 一般而言，Pn 上的任意线性函数都可以表示为： f(X)=a1x1 +a2x2+…+anxn … 证明如下：证明如下：

一般来说，Pn 上的任意线性函数都可以表示为： f(X)=a1x1+a2x2+…+anxn… 证明 ε1=(1,0,…,0), ε2=(0, 1, …, 0),…,εn=(0,0,…,n)。 Pn 中的任意向量 X=(x1,x2,…, xn) 都可以表示为 = x1ε1+x2ε2+…, xnεn… 设 f 是 Pn 上线性函数的线性函数，f (

然后

ai=f(εi), i=1,2, …,n f(X)=a1x1+a2x2+…+anxn …

例2 假设A是数域上的阶矩阵，是数域P上的阶矩阵，是数域上的n阶矩阵a11 a12 L a1n a 21 a 22 L a 2 n A = M M M a n1 a n 2 L a nn 则 A 的迹 Tr(A)= a11+a22+…+ann ... × 的迹是 Pn×n 上的线性函数。例 3 假设 V=P[x], t 为 P 给定数中的定数的定义是给定数 P[x] 上的函数 t 为： L 上的函数 Lt(p(x) 上的函数))=p(t ), p(x)∈P[x] ∈ 即Lt(p(x))为p(x)在t点的值，则Lt(p(x))为点的值，因为点的值是 [x] 上的 P 线性函数。

上的线性函数

定理假设V是数域上的一维线性空间ε1、ε2，是数域P上的一维线性空间，是数域上n维线性空间的一组基，…，εn是一组V基假设a1,a2,...,an是P中任意的一组基...对于任意数，有一个线性函数f，即n个数，V上有唯一的线性函数， V 上有唯一数量的线性函数线性函数 f(εi)=ai, i=1,2,…,n。为了证明存在性，我们只需将V上的函数定义为 n nf (Σ x i ε i ) = Σ a i x ii =1 i =1

这是一个线性函数，f(εi)=ai, i=1,2,…,n；这是一个可以任意选择的线性函数。 V 上的线性函数 f 可以任意选择。 V 上的线性函数和任意向量 α，α = x1ε1+x2ε2+…+xnεn … n n 都有 f (α ) = f (Σ x i ε i ) = Σ x i f (ε i ) 唯一确定。因此 f(α ) 由 f(ε1), f(ε2),…, f(εn) 通过…唯一确定

一旦确定 i =1 i =1

§2 对偶空间 1. 对偶空间假设V 是数域上的n 维线性空间。 V的整个集合是数域P上的一个维线性空间。它是数域中维线性空间上的所有线性函数的集合。记为L(V,P)。根据自然线性函数组成的集合的记法为：定义 L(V,P) 上的加法和乘法为：定义加法和乘法为：乘法如下 (f +g)(α)= f(α) )+g(α) αεV (kf)(α)=k(f(α)) kεP, αεV ε 命题 L(V, P) 根据上面的定义，使上式的上一行数字字段。根据上面的定义，制作数域P的上行。根据上面的定义，制作数域的属性空间。性质空间证明首先证明L(V,P)关于上述加法和数乘是封闭的。关于上面的加法和数乘封闭直接验证意味着f和kf仍然是线性函数。封闭直接验证意味着+g和kf仍然是线性函数。直接验证方式

( f +g)(α +β)= f(α+β)+g(α +β) = f(α)+f(β)+g(α)+g(β) =( f +g)(α)+( f +g)(β) ( f +g)(kα)= f(kα)+g(kα) =kf(α)+kg(α) =k( f +g) (α) 数乘法可以类似地证明。数乘法可以类似地证明。然后直接验证线性空间的8个性质是否满足。然后直接验证线性空间的8个性质是否满足。数域上的线性空间称为数域P。线性空间上的线性空间L(V,P)记为V*。线性空间V的对偶空间表示为

2.对偶基是V的一组基ε1,ε2,…,εn,V上n个线性函数的一组基作为最后一个线性函数f1,f2,…,fn,所以1 j = i f i (ε j ) = <1> 0 j ≠ i 因为在 ε1, ε2, … , εn 的基础上 i 的值已经确定，因为 f 的值已经确定，所以存在这样一个线性函数并且是独一无二的。这样的线性函数对于 V 中的任意向量 α 来说，该函数存在且唯一，并且任意向量 n α = x1ε1+x2ε2+…+xnεn = Σ xi ε i … i =1 fi(α)=xi <2> 都有第坐标的值。即fi(α)是α的第i个坐标的值和坐标

的值

引理对于 V 中的任意向量 α，存在任意向量 n α = Σ f i (α )ε i i =1，对于 L(V,P) 中的任意向量，存在任意向量 f in ，任意向量 n f in =1 i =1 n n

<3> <4>

和 <1> 和 <3>，αεV，并且 f (α ) = f (Σ f i (α )ε i ) = Σ f i (α ) f (ε i ) = (Σ f (ε i ) f i )(α )i =1 i =1 i =1 n n n

得到它得到它。

定理线性空间L(V,P)的维数等于V的维数，f1,f2,…,fn是L(V,P)的一组基。证明首先证明 1, f2, … , fn 是线性无关假设。首先证明f是线性无关的。 c1f1+c2f2+…,+cnfn=0 (c1,c2,…,cn∈P)……依次代入ε1,ε2,…,εn,可得c1=c2=…=cn=0。因此，1、f2、…、fn 是线性无关的，因此 f 是线性无关的。 …因此，从<4>也可知，L(V,P)中的任意向量都可以由1,f2确定，其中的任意向量可以由f和…可知，fn是线性表示的，所以1 , f2, ... , fn 是 L(V,P) 的线性表示，因此存在 f 的一组基，以及一组基和 dim L(V,P)= n=d

imV。定义由 f1, f2, … , fn 决定的 <1> 所决定的 L(V,P) 的基称为 ε1, ε2, … , εn 的对偶基。

示例：考虑实数域上的维线性空间。考虑实数域R上的维线性空间V=Pn[x]。对于任何n维线性空间，对于任意给定的n个不同实数和不同实数a表示取某些不同实数1,a2,。 ..,an，根据... 根据拉格朗日插值公式，得到多项式插值公式，通过插值公式得到n个多项式 ( x a1 ) L ( x a i 1 ) ( x a i +1 ) L ( x a n ) pi ( x ) = (ai a1 ) L (a i a i 1 )(a i a i +1 ) L (ai an ) 满足

现已上市

1, j = i pi ( a j ) = 0, j ≠ i , i , j = 1,2, L , n

c1p1(x)+c2p2(x)+…+cnpn(x)=0 代入ai 得到

Σck =1

pk ( a i ) = c i pi ( a i ) = c i = 0

线性无关。所以 1(x), p2(x),…, pn(x)，线性无关。所以 p 是线性无关的

因为它是 n 维的，1(x), p2(x),…,pn(x) 并且因为 V 是维度的，所以 p 维的，是一组基础。它是 V 的一组基。群基现在令 i∈V* 为 i 点的值函数现在令 L 为 a 处的值函数： Li(p(x))=p(ai) p(x)∈V ∈ 则Li是V上的线性函数并且满足on上的线性函数。 i= j 1 上的线性函数，Li ( p j ( x )) = p j (a i ) = i≠ j 0，因此 L1、L2、…、Ln 是 p1(x)、p2(x) 对的对偶基),…,pn(x)。双基

3. 不同基的双基之间的关系定理假设ε1,ε2,...,εn 和 η1, η2,...,ηn 是线性空基... ...是两组线性空基，它们的双碱基分别是V之间的两组碱基，它们的双碱基分别是1、f2，而这两组碱基，它们的双碱基分别是f…、fn和g1、g2、… , gn, 如果基 ε1, ε2,..., εn 如果基... η1, η2,..., ηn 的转移矩阵是 1, f2,..., fn 的转移矩阵。 ..是A，那么从f...的转移矩阵是(A到g1,g2,...,gn的转移矩阵是T)-1。证明

4.对偶空间的对偶空间假设V是数域上的线性空间 * 是它的对偶性。数域P上的线性空间是数域V空间上的线性空间。在给定的空间中取一个向量 x，定义 V。在给定的 V 中取一个向量空间。在给定的空间中取一个向量。定义 * 如下， ε 函数 x 为 f∈V *, x: V*=L(V, P) → P f → x(f )=f(x) from x(f+g)=(f+ g)x=f(x)+g(x)= x(f )+ x(g) x(kf )=(kf )x= kf(x) =kx x(f ) 所以 x 是关于V * So x 是 V * So，（V 中的元素，对偶空间 *）*= V * 的对偶空间上的线性函数 * * 中的元素表示为 x，表示为 **。

下面的 V 定理表明，到 V** 的映射是同构映射 x → x**。证明来自F：V → V** x → x**。首先证明 F(x1+x2)=F(x1 )+F(x2) x1,x2∈V F(kx)=kF(x) x∈V, k∈P ∈ f∈V*, F(x1+ x2)(f )=(x1+x2)** (f )=f(x1+x2) ε =f(x1)+f(x2)=x1**(f)+x2**(f ) =( x1**+x2**)(f ) = ( F(x1)+F(x2))(f ) F(kx)(f)=(kx)**(f )=f(kx)=kf( x) =kx**(f) =(kx* *)(f)=(kF(x))(f)

其次，证明F是双射。其次，证明F是双射。这是一个双射：If *